Деформації і модуль Юнга

Коли на тіло діють зовнішні сили, воно може змінювати свою форму або розміри. Таку зміну називають деформацією. У повсякденні ти постійно спостерігаєш деформації: розтягуєш гумовий шнур, стискаєш пружину, згинаєш лінійку або скручуєш рушник. У фізиці деформацію вивчають, щоб зрозуміти, як матеріали поводяться під навантаженням, — це критично важливо для інженерії, будівництва й конструювання.

Основні види деформацій

Розрізняють п'ять простих видів деформацій:

• Розтяг — тіло видовжується під дією сил, напрямлених від нього (трос, гумовий шнур).

• Стиск — тіло вкорочується під дією сил, напрямлених до нього (колона, пружина під вантажем).

• Зсув — одна частина тіла зсувається відносно іншої паралельно до площини перерізу (ножиці ріжуть папір, заклепка).

• Згин — вісь тіла викривляється (балка перекриття, стрижень під навантаженням).

• Кручення — тіло скручується навколо своєї осі (вал двигуна, викрутка).

Складні деформації, які трапляються в реальних конструкціях, є комбінацією цих простих. Наприклад, рейка залізничної колії зазнає одночасно згину й стиску.

Пружні та пластичні деформації

Залежно від того, чи зникає деформація після припинення дії сили, її поділяють на два типи:

• Пружна деформація — повністю зникає, коли силу прибирають. Тіло повертається до початкової форми. Приклад: розтягнута й відпущена гумка, стиснута й відпущена пружина.

• Пластична (непружна) деформація — залишається після припинення дії сили. Приклад: розкатаний пластилін, зігнута алюмінієва ложка, дріт, розтягнутий понад межу пружності.

Межа між пружною та пластичною поведінкою залежить від матеріалу. Сталь за малих навантажень поводиться пружно, а за великих — пластично. Скло ж руйнується майже без пластичної деформації — воно крихке.

Чому виникають сили пружності?

У твердому тілі частинки (атоми, молекули, йони) розташовані на певних рівноважних відстанях. Коли зовнішня сила змінює ці відстані, виникають сили міжмолекулярної взаємодії, які прагнуть повернути частинки в рівноважне положення. Саме ці сили сприймаються як сили пружності. Тому деформація залежить від матеріалу (типу частинок і зв'язків між ними), розмірів тіла та величини прикладеної сили.

Абсолютне видовження

Для деформації розтягу (або стиску) вводять величину, що показує, на скільки змінилася довжина тіла:

$$\Delta l=l-l_0$$

де $l_0$ — початкова довжина тіла, $l$ — кінцева довжина після деформації. $\Delta l$ називають абсолютним видовженням. Для стиску $\Delta l$ буде від'ємним (довжина зменшилася). Одиниця вимірювання — метр (м) або міліметр (мм).

Абсолютне видовження залежить від початкових розмірів тіла: довгий дріт видовжиться більше, ніж короткий з того самого матеріалу за тієї самої сили. Тому для порівняння матеріалів використовують відносну величину — відносне видовження, про яке йтиметься в наступному розділі.

Щоб описати, як матеріал реагує на навантаження, самих лише сили або абсолютного видовження недостатньо. Адже товстий стрижень витримує значно більшу силу, ніж тонкий, хоча виготовлені з одного матеріалу. Тому вводять поняття механічної напруги.

Механічна напруга

Механічна напруга $\sigma$ (сигма) — це сила, що діє перпендикулярно до поперечного перерізу, поділена на площу цього перерізу:

$$\sigma =\frac{F}{S}$$

де $F$ — сила, що розтягує (або стискає) тіло, $S$ — площа поперечного перерізу. Одиниця вимірювання — паскаль (Па). На практиці часто використовують кратні одиниці: 1 кПа = 10³ Па, 1 МПа = 10⁶ Па, 1 ГПа = 10⁹ Па.

Напруга враховує геометрію тіла: якщо взяти два стрижні з однакового матеріалу, але різної товщини, і прикласти однакову силу, то напруга в тоншому стрижні буде більшою — саме він і зруйнується першим.

Відносне видовження

Відносне видовження $\epsilon$ (епсилон) — це відношення абсолютного видовження до початкової довжини:

$$\epsilon =\frac{\Delta l}{l_0}$$

Це безрозмірна величина. Її часто виражають у відсотках: $\epsilon (\%)=\frac{\Delta l}{l_0}\cdot 100\%$. Наприклад, $\epsilon =0,002$ означає, що тіло видовжилося на 0,2 % від початкової довжини.

Відносне видовження дає змогу порівнювати деформації тіл різних розмірів. Якщо два дроти з однакового матеріалу, але різної довжини, видовжилися на однакову абсолютну величину, то відносне видовження буде більшим у коротшого дроту.

Площа поперечного перерізу круглого дроту

У задачах часто дають діаметр дроту, а не площу. Для круглого поперечного перерізу площа обчислюється за формулою:

$$S=\frac{\pi d^2}{4}=\pi r^2$$

Типова помилка — підставляти в формулу $\sigma =F/S$ діаметр замість площі. Запам'ятай: діаметр — це лінійний розмір (м), а площа — квадратичний (м²). Якщо діаметр збільшити вдвічі, площа зросте в 4 рази, а напруга за тієї самої сили зменшиться в 4 рази.

Важливо переводити площу в квадратні метри: 1 мм² = 10⁻⁶ м², 1 см² = 10⁻⁴ м².

Приклад обчислення

Дріт має площу поперечного перерізу 2 мм². До нього підвісили вантаж, який створює силу 400 Н. Знайдемо механічну напругу:

$$S=2{\text{мм}}^2=2\cdot 10^{-6}{\text{м}}^2$$

$$\sigma =\frac{400}{2\cdot 10^{-6}}=2\cdot 10^8\text{Па}=200\text{МПа}$$

Отже, напруга в дроті становить 200 МПа.

Зв'язок між механічною напругою та відносним видовженням для пружних деформацій встановлює закон Гука. Це один із фундаментальних законів механіки твердого тіла, який дозволяє розраховувати деформації конструкцій.

Формулювання закону Гука для розтягу й стиску

Для пружних деформацій розтягу або стиску механічна напруга прямо пропорційна відносному видовженню:

$$\sigma =E\cdot \epsilon$$

де $E$ — модуль Юнга (модуль пружності), фізична величина, що характеризує пружні властивості матеріалу. Одиниця вимірювання модуля Юнга — паскаль (Па).

Модуль Юнга різних матеріалів

Модуль Юнга — це таблична величина, яка залежить лише від матеріалу, а не від форми чи розмірів зразка. Ось орієнтовні значення для поширених матеріалів (у задачах НМТ значення $E$ зазвичай дають в умові):

Чим більший модуль Юнга, тим жорсткіший матеріал — він менше деформується під дією тієї самої напруги. Наприклад, сталь приблизно втричі жорсткіша за алюміній.

Видовження тіла через силу, довжину й площу

З формул $\sigma =F/S$ і $\sigma =E\epsilon$ можна отримати зручний вираз для абсолютного видовження:

$$\Delta l=\frac{F\cdot l_0}{E\cdot S}$$

Ця формула показує, що видовження:

• прямо пропорційне прикладеній силі $F$;

• прямо пропорційне початковій довжині $l_0$;

• обернено пропорційне площі поперечного перерізу $S$;

• обернено пропорційне модулю Юнга $E$.

Жорсткість зразка

Величину $k=\frac{E\cdot S}{l_0}$ називають жорсткістю зразка. Тоді закон Гука набуває звичного вигляду $F=k\cdot \Delta l$. Важливо не плутати модуль Юнга $E$ (характеристика матеріалу) і жорсткість $k$ (характеристика конкретного зразка, яка залежить від його розмірів).

Приклад обчислення

Сталевий трос завдовжки 10 м має площу поперечного перерізу 2 см². На нього діє сила 4 кН. Знайдемо видовження троса. Модуль Юнга сталі $E=2\cdot 10^{11}$ Па.

Переведемо площу в м²: $S=2{\text{см}}^2=2\cdot 10^{-4}{\text{м}}^2$.

Сила: $F=4\text{кН}=4000\text{Н}$.

$$\Delta l=\frac{4000\cdot 10}{2\cdot 10^{-4}\cdot 2\cdot 10^{11}}=\frac{40000}{4\cdot 10^7}=1\cdot 10^{-3}\text{м}=1\text{мм}$$

Отже, трос видовжиться лише на 1 мм.

Закон Гука для пружини

Закон Гука $F=kx$ для пружини, який ти знаєш, і закон $\sigma =E\epsilon$ для стрижня описують ту саму закономірність: сила пружності пропорційна деформації. У випадку пружини жорсткість $k$ визначається матеріалом, діаметром дроту, кількістю витків і діаметром витка. Важливо пам'ятати: закон Гука працює лише для малих пружних деформацій. Якщо деформація перевищує межу пружності, лінійна залежність порушується.

Залежність механічної напруги $\sigma$ від відносного видовження $\epsilon$ для конкретного матеріалу зображують графічно — це діаграма розтягу. Вона дає змогу визначити, як матеріал поводиться під навантаженням, і знайти граничні значення, за яких він руйнується.

Характерні точки діаграми розтягу

Розгляньмо типову діаграму розтягу для пластичного металу, наприклад сталі. На ній виділяють кілька характерних ділянок і точок:

• Межа пропорційності — напруга, до якої виконується закон Гука ($\sigma \propto \epsilon$). На графіку це пряма лінія.

• Межа пружності — напруга, після якої деформація перестає бути пружною: після зняття навантаження залишається залишкова (пластична) деформація.

• Ділянка плинності — напруга майже не зростає, а видовження помітно збільшується. Матеріал «тече».

• Межа міцності (тимчасовий опір) — максимальна напруга, яку може витримати зразок. Після її досягнення зразок руйнується.

На діаграмі розтягу пластичного матеріалу (сталь) спочатку йде пряма ділянка (закон Гука), далі — плавний перехід до ділянки плинності, а потім напруга зростає до максимуму — межі міцності, після якої зразок руйнується.

Діаграма розтягу: пластичний і крихкий матеріали

Крихкі матеріали, як-от скло, чавун або кераміка, руйнуються майже без пластичної деформації. Їхня діаграма розтягу майже пряма до самої межі міцності, після чого зразок ламається. Пластичні матеріали, як-от сталь, алюміній або мідь, перед руйнуванням зазнають значної пластичної деформації, що видно на діаграмі як ділянка плинності.

Запас міцності

У реальних конструкціях ніколи не допускають, щоб напруга наближалася до межі міцності. Завжди залишають запас міцності — число, яке показує, у скільки разів межа міцності більша за допустиму (робочу) напругу:

$$n=\frac{{\sigma }_{\text{межі міцності}}}{{\sigma }_{\text{допустима}}}$$

Наприклад, якщо межа міцності сталі становить 400 МПа, а в конструкції напруга не має перевищувати 100 МПа, то запас міцності $n=400/100=4$. Це означає, що конструкція витримає навантаження в 4 рази більше за розрахункове, перш ніж зруйнується.

Для різних типів конструкцій вимоги до запасу міцності різні. Наприклад, для ліфтів запас міцності тросів може сягати 10–12, а для менш відповідальних деталей — 2–3.

Розв'яжемо кілька типових задач на деформацію розтягу, які трапляються на НМТ. Кожен приклад супроводжується покроковим розв'язанням і поясненням типових помилок.

Приклад 1. Механічна напруга

Умова: До дроту площею поперечного перерізу 0,5 мм² підвісили вантаж масою, що створює силу 100 Н. Знайди механічну напругу в дроті. Відповідь подай у МПа.

Розв'язання:

1. Переводимо площу в м²: $S=0,5{\text{мм}}^2=0,5\cdot 10^{-6}{\text{м}}^2=5\cdot 10^{-7}{\text{м}}^2$.

2. Записуємо формулу механічної напруги: $\sigma =F/S$.

3. Підставляємо значення: $\sigma =100/(5\cdot 10^{-7})=2\cdot 10^8\text{Па}$.

4. Переводимо в МПа: $2\cdot 10^8\text{Па}=200\text{МПа}$.

Відповідь: 200 МПа.

Типова помилка: забути перевести мм² у м². Якщо підставити 0,5 замість $5\cdot 10^{-7}$, отримаєш 200 Па, що в мільйон разів менше за правильну відповідь.

Приклад 2. Відносне видовження

Умова: Відносне видовження стержня завдовжки 2 м становить 0,001. Знайди абсолютне видовження стержня. Відповідь подай у міліметрах.

Розв'язання:

1. Записуємо формулу відносного видовження: $\epsilon =\Delta l/l_0$.

2. Виражаємо абсолютне видовження: $\Delta l=\epsilon \cdot l_0$.

3. Підставляємо: $\Delta l=0,001\cdot 2=0,002\text{м}$.

4. Переводимо в міліметри: $0,002\text{м}=2\text{мм}$.

Відповідь: 2 мм.

Типова помилка: плутати відносне видовження $\epsilon$ з абсолютним $\Delta l$ і намагатися помножити $\epsilon$ на щось інше, крім $l_0$.

Приклад 3. Видовження за законом Гука

Умова: Сталевий дріт завдовжки 2 м має площу поперечного перерізу 1 мм². До нього приклали силу 200 Н. Модуль Юнга сталі $E=2\cdot 10^{11}$ Па. Знайди абсолютне видовження дроту. Відповідь подай у міліметрах.

Розв'язання:

1. Переводимо площу в м²: $S=1{\text{мм}}^2=10^{-6}{\text{м}}^2$.

2. Записуємо формулу: $\Delta l=\frac{F\cdot l_0}{E\cdot S}$.

3. Підставляємо: $\Delta l=\frac{200\cdot 2}{2\cdot 10^{11}\cdot 10^{-6}}=\frac{400}{2\cdot 10^5}=2\cdot 10^{-3}\text{м}$.

4. Переводимо в міліметри: $2\cdot 10^{-3}\text{м}=2\text{мм}$.

Відповідь: 2 мм.

Типова помилка: не перевести мм² у м² або переплутати $E$ і $S$ у знаменнику.

Приклад 4. Як зміна діаметра впливає на напругу

Умова: Діаметр дроту збільшили вдвічі, залишивши силу незмінною. Як зміниться механічна напруга в дроті?

Варіанти відповідей:

• А) збільшиться в 2 рази

• Б) збільшиться в 4 рази

• В) зменшиться в 2 рази

• Г) зменшиться в 4 рази

Розв'язання: Площа поперечного перерізу круглого дроту $S=\pi d^2/4$. Якщо діаметр збільшити вдвічі ($d_2=2d_1$), то нова площа $S_2=\pi (2d_1{)}^2/4=4\cdot \pi d_1^2/4=4S_1$. Отже, площа зростає в 4 рази. Напруга $\sigma =F/S$, тому за незмінної сили ${\sigma }_2=F/(4S_1)={\sigma }_1/4$. Напруга зменшиться в 4 рази.

Відповідь: Г) зменшиться в 4 рази.

Чому інші варіанти неправильні:

• А) збільшиться в 2 рази — помилка: плутають діаметр із площею, думаючи, що напруга обернено пропорційна діаметру, а не площі.

• Б) збільшиться в 4 рази — помилка: вважають, що напруга прямо пропорційна діаметру, але насправді вона обернено пропорційна площі.

• В) зменшиться в 2 рази — помилка: забувають, що площа пропорційна квадрату діаметра, а не діаметру.

Під час розв'язування задач на деформацію розтягу й закон Гука учні найчастіше припускаються таких помилок. Знай їх наперед, щоб не втратити бали на НМТ.

• Підставляти діаметр дроту замість площі поперечного перерізу. У формулу $\sigma =F/S$ треба підставляти саме площу, а не діаметр. Для круглого дроту $S=\pi d^2/4$. Якщо дано діаметр, спершу обчисли площу.

• Плутати абсолютне видовження $\Delta l$ і відносне видовження $\epsilon =\Delta l/l_0$. Абсолютне видовження — це різниця довжин у метрах або міліметрах. Відносне — безрозмірна величина, яку можна подати у відсотках. Не плутай їх у формулі закону Гука: $\sigma =E\cdot \epsilon$, а не $\sigma =E\cdot \Delta l$.

• Не переводити мм² у м² (множник 10⁻⁶) і ГПа, МПа в Па. Площа в 1 мм² = 10⁻⁶ м². Якщо забудеш про це, напруга вийде в мільйон разів меншою. Так само 1 МПа = 10⁶ Па, 1 ГПа = 10⁹ Па.

• Застосовувати закон Гука до великих деформацій за межею пружності. Закон Гука $\sigma =E\epsilon$ справедливий лише для малих пружних деформацій. Коли напруга перевищує межу пружності, залежність перестає бути лінійною, і закон Гука не виконується.

• Плутати модуль Юнга $E$ (характеристика матеріалу) із жорсткістю $k$ (характеристика конкретного зразка). Модуль Юнга залежить тільки від матеріалу, а жорсткість $k=E\cdot S/l_0$ — ще й від розмірів зразка. Два дроти зі сталі мають однаковий модуль Юнга, але різну жорсткість, якщо їхні довжини або площі перерізу різні.

Тема «Деформації і модуль Юнга» входить до теми «Властивості газів, рідин і твердих тіл» (блок «Молекулярна фізика і термодинаміка») програми НМТ з фізики. Ось що треба знати про формат перевірки.

Довідкові матеріали НМТ

У довідкових матеріалах, які ти отримаєш на тестуванні, наведено такі формули:

• Механічна напруга: $\sigma =\frac{F_{\text{пруж}}}{S}$

• Відносне видовження: $\epsilon =\frac{\Delta l}{l_0}\cdot 100\%$

• Закон Гука: $\sigma =E|\epsilon |$

Зверни увагу: у довідці відносне видовження записано з множником 100 %, тобто у відсотках. Однак у закон Гука $\sigma =E|\epsilon |$ значення $\epsilon$ треба підставляти десятковим дробом, а не у відсотках. Наприклад, якщо $\epsilon =0,2\%$, то в закон Гука підставляють $\epsilon =0,002$, а не 0,2.

Діаграми розтягу в довідкових матеріалах немає — її вигляд і характерні точки (межа пропорційності, межа пружності, ділянка плинності, межа міцності) треба знати самостійно.

Що вимагає програма

Програма НМТ із цієї теми передбачає, що ти вмієш:

• аналізувати діаграму розтягу металів;

• обчислювати механічну напругу й видовження тіла;

• застосовувати закон Гука для розтягу й стиску.

Значення модуля Юнга $E$ зазвичай дають в умові задачі — запам'ятовувати табличні значення не потрібно.

Стратегія розв'язування

Якщо в задачі дано силу, розміри зразка й модуль Юнга, а знайти треба видовження, дій за таким алгоритмом:

1. Переведи площу поперечного перерізу в квадратні метри (м²).

2. Обчисли механічну напругу $\sigma =F/S$.

3. За законом Гука знайди відносне видовження $\epsilon =\sigma /E$.

4. Обчисли абсолютне видовження $\Delta l=\epsilon \cdot l_0$.

Можна також одразу скористатися формулою $\Delta l=F\cdot l_0/(E\cdot S)$, яка об'єднує всі кроки.

На НМТ завдання з цієї теми можуть бути як у форматі вибору однієї відповіді з чотирьох, так і у форматі короткої відповіді (число). Уважно читай, в яких одиницях треба подати відповідь.

Тут зібрано відповіді на найпоширеніші запитання, які виникають під час вивчення теми «Деформації і модуль Юнга».

Основні формули й поняття теми «Деформації і модуль Юнга»:

• Механічна напруга: $\sigma =F/S$ (Па). Характеризує навантаженість матеріалу з урахуванням площі перерізу.

• Відносне видовження: $\epsilon =\Delta l/l_0$. Безрозмірна величина, часто у відсотках.

• Закон Гука для пружних деформацій: $\sigma =E\cdot \epsilon$, де $E$ — модуль Юнга (Па).

• Абсолютне видовження: $\Delta l=\frac{F\cdot l_0}{E\cdot S}$.

• Площа круглого перерізу: $S=\pi d^2/4$. Не плутай діаметр із площею!

• Діаграма розтягу: межа пропорційності → межа пружності → ділянка плинності → межа міцності → руйнування.

• Запас міцності: $n={\sigma }_{\text{межі міцності}}/{\sigma }_{\text{допустима}}$.

• Переводь одиниці: 1 мм² = 10⁻⁶ м²; 1 МПа = 10⁶ Па; 1 ГПа = 10⁹ Па.