Глосарій

Арккосинусом числа a (arccos a) називають кут з відрізка [0; π], косинус якого дорівнює a. Умова: |a| ≤ 1. Наприклад, arccos(1/2) = π/3. Для від'ємних чисел: arccos(−a) = π − arccos a.

Арксинусом числа a (arcsin a) називають кут з відрізка [−π/2; π/2], синус якого дорівнює a. Умова: |a| ≤ 1. Наприклад, arcsin(1/2) = π/6.

Арктангенсом числа a (arctg a) називають кут з інтервалу (−π/2; π/2), тангенс якого дорівнює a. На відміну від арксинуса й арккосинуса, a може бути будь-яким дійсним числом. Наприклад, arctg 1 = π/4.

Рівняння виду ax⁴ + bx² + c = 0, де a ≠ 0. Зводиться до квадратного заміною t = x², t ≥ 0.

Вирази, добуток яких дорівнює 1: aˣ і a⁻ˣ = 1/aˣ, logₐ x і logₓ a. Після заміни t = aˣ або t = logₐ x такий вираз дає доданок 1/t, і множення обох частин на t приводить до квадратного рівняння. Вираз a^(k − x) = aᵏ/aˣ відрізняється від 1/aˣ сталим множником aᵏ, тому після заміни t = aˣ теж дає доданок виду c/t.

Процес вибору з-поміж усіх розв'язків тригонометричного рівняння (нескінченної множини) лише тих, що належать заданому проміжку [a; b] або (a; b). Виконується перебором n у загальній формулі, розв'язуванням подвійної нерівності або за одиничним колом.

У квадратному рівнянні ax² + bx + c = 0 — це коефіцієнт c, доданок, який не містить змінної x. Наприклад, у рівнянні 2x² − 5x − 3 = 0 вільний член дорівнює −3.

Модуль різниці |x − a| дорівнює відстані між точками x і a на числовій прямій. Це дозволяє розв'язувати рівняння |x − a| = b як пошук точок на відстані b від числа a.

Число D = b² − 4ac, яке визначає кількість коренів квадратного рівняння ax² + bx + c = 0: D > 0 — два різні корені; D = 0 — один корінь; D < 0 — дійсних коренів немає.

Рівняння, що містить ділення на многочлен зі змінною (вираз зі змінною в знаменнику). Наприклад, 3/(x − 2) = 1.

Формула, яка описує всі корені тригонометричного рівняння через цілий параметр n, наприклад x = (-1)^n * arcsin a + πn для sin x = a.

Метод розв'язування рівнянь, за якого повторюваний вираз позначають новою змінною t, розв'язують простіше рівняння для t, а потім повертаються до початкової змінної.

Квадратне рівняння, у якого старший коефіцієнт дорівнює 1. Записується у вигляді x² + px + q = 0. Будь-яке повне квадратне рівняння ax² + bx + c = 0 можна звести до такого вигляду, поділивши обидві частини на a.

Метод розв'язування показникового рівняння, коли обидві частини записують як степені з однією додатною основою, яка не дорівнює 1, а потім прирівнюють показники.

Ситуація, коли основа логарифма є не сталим числом, а виразом, що містить змінну (наприклад, log_x 9 = 2). У такому разі додатково вимагають: основа > 0 і основа ≠ 1.

Рівняння, у якому змінна міститься під знаком кореня (наприклад, √(x − 3) = 4). Рівняння вигляду √2 · x = 5 не є ірраціональним, бо змінна не під коренем.

Запис log²ₐ x означає (logₐ x)², тобто спочатку обчислюють логарифм числа x за основою a, а потім результат підносять до квадрата. Не плутай з logₐ(x²) — логарифмом квадрата x, який дорівнює 2 logₐ|x| (за x > 0 — 2 logₐ x).

Рівняння вигляду ax² + bx + c = 0, де x — змінна, a, b, c — числа, причому a ≠ 0. Якщо a = 0, рівняння стає лінійним.

Рівняння вигляду a f²(x) + b f(x) + c = 0, де f(x) — sin x, cos x або tg x. Розв'язується заміною t = f(x), після чого стає звичайним квадратним рівнянням at² + bt + c = 0. Для sin x і cos x корені t мають задовольняти умову |t| ≤ 1.

Значення змінної, за якого рівняння перетворюється на правильну числову рівність. Наприклад, x = 3 — корінь рівняння 2x − 1 = 5, бо 2·3 − 1 = 5.

Рівняння вигляду ax = b, де a і b — числа, x — змінна. При a ≠ 0 має єдиний корінь x = b/a; при a = 0 і b ≠ 0 коренів немає; при a = 0 і b = 0 коренем є будь-яке число.

Рівняння, у якому змінна міститься під знаком логарифма (підлогарифмічний вираз) або в його основі, і яке розв'язують із використанням означення та властивостей логарифмів з обов'язковим урахуванням ОДЗ.

Спосіб розв'язування рівнянь і нерівностей з кількома модулями: нулі підмодульних виразів ділять числову пряму на проміжки, на кожному з яких модулі розкривають з певним знаком; знайдені розв'язки перетинають із цим проміжком (корені рівняння перевіряють на належність йому).

Спосіб розв'язування рівнянь, за якого ліву частину розкладають на множники (винесенням спільного множника або групуванням), після чого використовують умову: добуток дорівнює нулю, якщо хоча б один множник дорівнює нулю.

Найбільший корінь тригонометричного рівняння, який менший за нуль (найближчий до нуля зліва). Знаходиться перебором n = 0, −1, −2, … у загальній формулі, доки не отримаємо від'ємне число; з-поміж знайдених від'ємних коренів обирають найбільший.

Найменший корінь тригонометричного рівняння, який більший за нуль. Знаходиться перебором n = 0, 1, 2, … у загальній формулі, доки не отримаємо додатне число; це число і є шуканим коренем.

Квадратне рівняння ax² + bx + c = 0, у якому хоча б один із коефіцієнтів b або c дорівнює нулю. Розрізняють три види: ax² + bx = 0 (c = 0), ax² + c = 0 (b = 0), ax² = 0 (b = 0 і c = 0).

Запис відповіді тригонометричного рівняння, що містить дві або більше серій коренів. Кожна серія — окрема множина, і ціле число в ній пробігає всі значення незалежно; зручно, щоб кожна з них мала власну літеру цілого параметра (n, k, m ∈ Z), особливо під час відбору коренів.

Якщо для двох чисел m і n виконуються умови m + n = −p і m · n = q, то m і n є коренями зведеного квадратного рівняння x² + px + q = 0. Дає змогу складати рівняння за коренями та підбирати корені усно.

Множина всіх значень змінної, за яких кожен вираз у рівнянні має зміст. Для дробового рівняння це всі значення, за яких жоден знаменник не дорівнює нулю.

Обмеження, яке накладають на нову змінну t після заміни: для t = aˣ маємо t > 0, оскільки показникова функція додатна; для t = logₐ x обмежень на t немає, але t ≠ 0, якщо t стоїть у знаменнику (що відповідає x ≠ 1).

Тригонометричне рівняння, у якому кожен доданок має однаковий сумарний степінь відносно sin x і cos x, наприклад a sin x + b cos x = 0 (перший степінь) або a sin²x + b sin x cos x + c cos²x = 0 (другий степінь). Якщо коефіцієнт a при sin x (відповідно при sin²x) не дорівнює нулю, такі рівняння розв'язують діленням на cos x (cos²x), зводячи до рівняння відносно tg x; якщо a = 0, cos x виносять за дужки.

Вираз, що стоїть під знаком кореня. Для кореня парного степеня підкореневий вираз має бути невід'ємним, для кореня непарного степеня — може бути будь-яким дійсним числом.

Вираз, що стоїть під знаком логарифма (у записі log_a b — це b). Для існування логарифма підлогарифмічний вираз має бути строго додатним (b > 0).

Вираз, що стоїть під знаком модуля. Наприклад, у записі |2x − 1| підмодульним виразом є 2x − 1. Нулі підмодульних виразів використовують у методі проміжків.

Рівняння, у якому змінна (або вираз зі змінною) міститься в показнику степеня, наприклад 3^x = 81, 2^(x+1) = 0,5.

Якщо a > 0, a ≠ 1, то рівність a^f(x) = a^g(x) виконується тоді й тільки тоді, коли f(x) = g(x). Це основне правило для найпростіших показникових рівнянь.

Рівняння, що мають одну й ту саму множину коренів. Рівносильні перетворення (перенесення доданка з протилежним знаком, множення/ділення обох частин на ненульове число) не змінюють множини коренів.

Рівняння, у якому змінна міститься під знаком модуля. Розв'язується за означенням модуля, геометричним змістом або методом проміжків.

Рівність, яка містить змінну (зазвичай позначають літерою x). Наприклад, 2x − 1 = 5 — рівняння зі змінною x.

Рівняння, що містить усі корені початкового рівняння, але може мати й додаткові (сторонні) корені. Піднесення до квадрата є типовим прикладом переходу до рівняння-наслідку.

Серія розв'язків — це одна з двох (або більше) груп кутів, які разом утворюють загальний розв'язок тригонометричного рівняння. Наприклад, для sin x = a дві серії: x = arcsin a + 2πn і x = π − arcsin a + 2πn.

Вираз, значення якого не змінюється при перестановці коренів x₁ і x₂ місцями. Приклади: x₁² + x₂², 1/x₁ + 1/x₂, x₁²x₂ + x₁x₂². Такі вирази можна обчислити через суму й добуток коренів, не знаходячи самих коренів.

Корінь рівняння, отриманого внаслідок нерівносильного перетворення (звільнення від знаменника, піднесення до квадрата, потенціювання), який не задовольняє початкове рівняння. Такі корені відкидають.

Якщо зведене квадратне рівняння x² + px + q = 0 має дійсні корені x₁ і x₂ (D ≥ 0), то x₁ + x₂ = −p, а x₁ · x₂ = q. Для загального рівняння ax² + bx + c = 0: x₁ + x₂ = −b/a, x₁ · x₂ = c/a.

Раціональне рівняння, яке не містить ділення на вираз зі змінною. Знаменники в ньому — лише числа.