Глосарій

Властивість визначеного інтеграла: інтеграл по всьому проміжку дорівнює сумі інтегралів по його частинах — ∫ₐᶜ f(x) dx = ∫ₐᵇ f(x) dx + (інтеграл від b до c); рівність справджується за будь-якого розташування точок a, b, c.

Число, яке дорівнює границі інтегральних сум функції на проміжку [a; b] і обчислюється за формулою Ньютона–Лейбніца як різниця значень первісної у верхній та нижній межах.

Визначений інтеграл ∫ₐᵇ f(x) dx дорівнює площі криволінійної трапеції, утвореної графіком функції y = f(x), віссю Ox і прямими x = a, x = b, за умови що f(x) ≥ 0 на [a; b]. Якщо f(x) ≤ 0, то інтеграл від'ємний, а площа дорівнює −∫ₐᵇ f(x) dx.

Значення похідної функції в точці x₀ дорівнює кутовому коефіцієнту дотичної до графіка функції в цій точці: f′(x₀) = k = tg α.

Графік функції y = f′(x). За його положенням відносно осі Ox визначають проміжки зростання й спадання самої функції f: де графік похідної над віссю — f зростає, де під віссю — f спадає.

Процес знаходження похідної функції. Функцію, яка має похідну в точці, називають диференційовною в цій точці.

Якщо похідна f′ змінює знак з «+» на «−» під час переходу через критичну точку x₀, то x₀ — точка максимуму; якщо з «−» на «+» — точка мінімуму; якщо знак не змінюється — екстремуму немає.

Якщо похідна функції додатна в кожній точці деякого проміжку, то функція зростає на цьому проміжку. Умова достатня, але не необхідна: функція може зростати й при нульовій похідній в окремих точках.

Пряма, яка має з графіком функції в заданій точці спільну точку і в цій точці має той самий напрям, що й сам графік. Значення похідної функції в точці дотику дорівнює кутовому коефіцієнту цієї прямої.

Значення функції в точці екстремуму: максимум f(x_max) або мінімум f(x_min). Локальне поняття — не плутати з найбільшим/найменшим значенням на відрізку.

Схематичне зображення графіка, яке передає ключові властивості: нулі, проміжки монотонності, точки екстремуму та поведінку на нескінченності, без точного масштабу.

Вираз F(x) + C, де F — одна з первісних для функції f, а C — довільна стала, описує всі первісні для f на даному проміжку.

Прикладна задача, у якій потрібно знайти найбільше або найменше значення певної величини (площі, об'єму, вартості) шляхом складання функції однієї змінної та знаходження її найбільшого або найменшого значення на проміжку зміни змінної.

Функція s(t), яка задає координату (шлях) тіла в кожний момент часу t. Її похідна дає миттєву швидкість.

Число, яке отримують після знаходження похідної f′(x) та підстановки заданого значення x₀ замість x. Показує швидкість зміни функції в цій точці.

Дія, обернена до диференціювання, — знаходження первісної (або невизначеного інтеграла) для заданої функції.

Фігура, обмежена графіком неперервної функції y = f(x) ≥ 0 на проміжку [a; b], прямими x = a, x = b і віссю Ox. Її площа дорівнює визначеному інтегралу ∫ₐᵇ f(x) dx.

Внутрішня точка області визначення функції, у якій похідна дорівнює нулю або не існує. Критичні точки є кандидатами на межі проміжків монотонності.

Кут α (0° ≤ α < 180°, α ≠ 90°) між дотичною прямою та додатним напрямом осі Ox. Визначається з рівності tg α = f′(x₀).

Число k, яке дорівнює тангенсу кута α між дотичною і додатним напрямом осі Ox. Для дотичної, проведеної до графіка функції в точці x₀, кутовий коефіцієнт дорівнює значенню похідної f'(x₀).

Числа a (нижня межа) та b (верхня межа), які вказують проміжок, на якому обчислюють визначений інтеграл ∫ₐᵇ f(x) dx.

Швидкість тіла в конкретний момент часу t₀, яка дорівнює похідній закону руху в цей момент: v(t₀) = s′(t₀).

Число M називають найбільшим значенням функції f на відрізку [a; b], якщо f(x) ≤ M для всіх x ∈ [a; b] і існує x₀ ∈ [a; b] таке, що f(x₀) = M.

Число m називають найменшим значенням функції f на відрізку [a; b], якщо f(x) ≥ m для всіх x ∈ [a; b] і існує x₀ ∈ [a; b] таке, що f(x₀) = m.

Теорема Ферма: якщо x₀ — точка екстремуму функції f і в ній існує похідна, то f′(x₀) = 0. Умова необхідна, але не достатня.

Функція, графік якої можна намалювати, не відриваючи олівця від паперу; для неперервної на відрізку функції завжди існують найбільше й найменше значення (теорема Вейєрштрасса).

Функція F називається первісною для функції f на проміжку, якщо для всіх x цього проміжку виконується рівність F′(x) = f(x).

Функція f(x), яку інтегрують; її записують після знака інтеграла перед диференціалом dx: ∫ f(x) dx.

Площа фігури, обмеженої двома графіками функцій y = f(x) (верхня) та y = g(x) (нижня) на проміжку [a; b], обчислюється за формулою S = ∫ₐᵇ (f(x) − g(x)) dx, де a і b — абсциси точок перетину графіків.

Похідна добутку двох функцій обчислюється за формулою (uv)′ = u′v + uv′: похідна першої функції, помножена на другу, плюс перша функція, помножена на похідну другої.

Границя відношення приросту функції до приросту аргументу, коли приріст аргументу прямує до нуля: f′(x₀) = lim(Δx→0) Δf/Δx. Характеризує миттєву швидкість зміни функції в точці x₀.

Похідна частки двох функцій обчислюється за формулою (u/v)′ = (u′v − uv′)/v², де v ≠ 0: похідна чисельника, помножена на знаменник, мінус чисельник, помножений на похідну знаменника, усе поділити на квадрат знаменника.

Формули для знаходження похідної суми, різниці, добутку, частки функцій та функції зі сталим множником: (u ± v)′ = u′ ± v′, (Cu)′ = Cu′, (uv)′ = u′v + uv′, (u/v)′ = (u′v − uv′)/v².

Різниця між новим і початковим значенням аргументу: Δx = x − x₀. Показує, на скільки змінився аргумент функції.

Різниця між значенням функції в новій точці та в початковій: Δf = f(x₀ + Δx) − f(x₀). Показує, на скільки змінилося значення функції при зміні аргументу на Δx.

Швидкість зміни швидкості тіла, яка дорівнює похідній від швидкості за часом: a(t) = v′(t) = s″(t).

Максимальний проміжок, на якому функція є лише зростаючою або лише спадною. Межами проміжків монотонності є критичні точки та точки поза областю визначення.

Формула y = f(x₀) + f′(x₀)(x − x₀), яка задає пряму, що дотикається до графіка функції y = f(x) у точці з абсцисою x₀. Належить до профільного рівня програми (позначка «П»), у довідкових матеріалах її немає.

Функція виду f(g(x)), де g(x) — внутрішня функція, а f — зовнішня. Її похідна дорівнює добутку похідної зовнішньої функції за внутрішньою та похідної внутрішньої функції: (f(g(x)))′ = f′(g(x))·g′(x).

Таблиця, що містить відповідність між елементарними функціями та їхніми первісними: 0 → C, 1 → x + C, x^α → x^(α+1)/(α+1) + C (α ≠ −1), 1/x → ln|x| + C, e^x → e^x + C, sin x → −cos x + C, cos x → sin x + C, 1/cos²x → tg x + C.

Зведення формул для похідних основних елементарних функцій: сталої (C′ = 0), степеневої (x^α)′ = α·x^(α−1), показникової (eˣ)′ = eˣ, логарифмічної (ln x)′ = 1/x і тригонометричних (sin x)′ = cos x, (cos x)′ = −sin x, (tg x)′ = 1/cos²x. Таблиця похідних є в довідкових матеріалах НМТ.

Точка (x₀; f(x₀)) графіка, у якій проведено дотичну; дотична може мати з графіком і інші спільні точки. Для кола точка дотику — єдина спільна точка дотичної й кола, і радіус, проведений у неї, перпендикулярний до дотичної.

Абсциса x₀, для якої існує окіл, де f(x) < f(x₀) для всіх x ≠ x₀ з цього околу. Позначають x_max.

Абсциса x₀, для якої існує окіл, де f(x) > f(x₀) для всіх x ≠ x₀ з цього околу. Позначають x_min.

Похідна функції в точці дорівнює миттєвій швидкості зміни цієї функції в даній точці. Для закону руху s(t) похідна s′(t₀) — це швидкість тіла в момент t₀.

Основна формула інтегрального числення: ∫ₐᵇ f(x) dx = F(b) − F(a), де F — будь-яка первісна функції f на проміжку [a; b].

Для будь-якої величини Q(t), що змінюється з часом, її похідна Q′(t) показує, як швидко змінюється ця величина. Одиниця вимірювання — одиниця величини, поділена на одиницю часу.